宝鸡文理学院 804 量子力学考研真题参考书目大纲复习资料

【初试】2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研精品资料 一、重点名校考研真题汇编及考研大纲  1．重点名校：量子力学 2014-2021 年考研真题汇编（暂无答案） 说明：本科目没有收集到历年考研真题，赠送重点名校考研真题汇编，因不同院校真题相似性极高，甚至 部分考题完全相同，建议考生备考过程中认真研究其他院校的考研真题。 2.宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲  ①2022 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲。 ②2020 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲。 说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复 习的首选资料，本项为免费提供。 二、2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研资料  3．《量子力学》考研相关资料  （1）《量子力学》[笔记+课件+提纲]  ①2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学之《量子力学》考研复习笔记。  说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。 ②2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学之《量子力学》本科生课件。  说明：参考书配套授课 PPT 课件，条理清晰，内容详尽，非本校课件，版权归属制作教师，本项免费赠送。 ③2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学之《量子力学》复习提纲。  说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。 （2）《量子力学》考研核心题库（含答案）  ①2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学之《量子力学》考研核心题库精编。  说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类 汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。 （3）《量子力学》考研题库[仿真+强化+冲刺]  ①2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研专业课五套仿真模拟题。  说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。 ②2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研强化五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备。 ③2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课冲刺检测使用。共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺必备资料。 三、资料全国统一零售价  4．本套考研资料包含以上一、二部分（不含教材），全国统一零售价：[￥]  特别说明：  ①本套资料由本机构编写组按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。 ②资料中若有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感谢， 如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！ 四、2023 年研究生入学考试指定/推荐参考书目（资料不包括教材）  5．宝鸡文理学院 804 量子力学考研初试参考书 周世勋，《量子力学》(第 2 版),高等教育出版社； 五、本套考研资料适用院系/专业  物理学 （1）选择题或填空题（30 分） （2）简答题（40 分） （3）证明题和计算题（80 分） 版权声明   编写组依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面 上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由 于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在 此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您 沟通处理。 因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读 者批评指正。 目录 【初试】2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研精品资料 ....................................................................... 1 目录............................................................................................................................................................. 3 2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学备考信息 ............................................................................................. 8 宝鸡文理学院 804 量子力学考研初试参考书目 ............................................................................................... 8 宝鸡文理学院 804 量子力学考研招生适用院系及考试题型............................................................................ 8 重点名校：量子力学 2014-2021 年考研真题汇编（暂无答案）................................................................. 9 第一篇、2021 年量子力学考研真题汇编 .......................................................................................................... 9 2021 年河北科技大学 815 量子力学考研专业课真题 .................................................................................. 9 2021 年安徽师范大学 706 量子力学考研专业课真题 ................................................................................11 2021 年北京化工大学 862 量子力学考研专业课真题 ................................................................................13 2021 年北京邮电大学 602 量子力学考研专业课真题 .................................................................................15 2021 年湖南师范大学 725 量子力学考研专业课真题 .................................................................................17 2021 年昆明理工大学 844 量子力学考研专业课真题 ................................................................................19 2021 年宁波大学 872 量子力学考研专业课真题.........................................................................................22 2021 年浙江工业大学 667 量子力学考研专业课真题 .................................................................................24 2021 年中国海洋大学 638 量子力学考研专业课真题 ................................................................................26 第二篇、2020 年量子力学考研真题汇编 ........................................................................................................ 28 2020 年南京师范大学 839 量子力学考研专业课真题 ................................................................................28 2020 年杭州电子科技大学大学 量子力学考研专业课真题........................................................................30 2020 年河北科技大学 815 量子力学考研专业课真题 ................................................................................33 2020 年扬州大学 628 量子力学考研专业课真题..........................................................................................35 2020 年中国海洋大学 638 量子力学考研专业课真题 .................................................................................37 2020 年北京邮电大学 602 量子力学考研专业课真题 .................................................................................40 2020 年湖南科技大学 829 量子力学考研专业课真题 ................................................................................42 2020 年河北师范大学 825 量子力学考研专业课真题 ................................................................................43 2020 年浙江工业大学 667 量子力学考研专业课真题 ................................................................................45 2020 年长沙理工大学 838 量子力学考研专业课真题 ................................................................................49 2020 年桂林理工大学 613 量子力学考研专业课真题 ................................................................................51 2020 年昆明理工大学 825 量子力学考研专业课真题 ................................................................................53 2020 年宁波大学 872 量子力学考研专业课真题.........................................................................................56 2020 年杭州师范大学 825 量子力学考研专业课真题 ................................................................................59 第三篇、2019 年量子力学考研真题汇编 ........................................................................................................ 61 2019 年扬州大学 628 量子力学考研专业课真题..........................................................................................61 2019 年中国海洋大学 638 量子力学考研专业课真题 .................................................................................63 2019 年浙江工业大学 667 量子力学考研专业课真题 .................................................................................66 2019 年杭州师范大学 723 量子力学考研专业课真题 .................................................................................682019 年湖南师范大学 725 量子力学考研专业课真题 .................................................................................70 2019 年山东大学 829 量子力学考研专业课真题..........................................................................................72 2019 年烟台大学 831 量子力学考研专业课真题..........................................................................................75 2019 年长沙理工大学 838 量子力学考研专业课真题 .................................................................................76 2019 年昆明理工大学 844 量子力学考研专业课真题 .................................................................................78 2019 年宁波大学 872 量子力学考研专业课真题..........................................................................................81 2019 年安徽师范大学 901 量子力学考研专业课真题 .................................................................................83 2019 年南京师范大学 839 量子力学考研专业课真题 .................................................................................85 第四篇、2018 年量子力学考研真题汇编 ........................................................................................................ 87 2018 年四川师范大学 830 量子力学考研专业课真题 .................................................................................87 2018 年湖南师范大学 725 量子力学考研专业课真题 .................................................................................89 2018 年华南理工大学 630 量子力学考研专业课真题 .................................................................................91 2018 年南京航空航天大学 618 量子力学考研专业课真题.........................................................................94 2018 年南京师范大学 839 量子力学考研专业课真题 .................................................................................95 2018 年山东大学 829 量子力学考研专业课真题..........................................................................................97 2018 年山东师范大学 824 量子力学考研专业课真题 .................................................................................99 2018 年扬州大学 628 量子力学考研专业课真题........................................................................................101 2018 年中国海洋大学 638 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................103 第五篇、2017 年量子力学考研真题汇编 ...................................................................................................... 106 2017 年杭州师范大学 726 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................106 2017 年河北科技大学 815 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................109 2017 年河南师范大学 804 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................111 2017 年华南理工大学 630 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................113 2017 年江西师范大学 849 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................115 2017 年昆明理工大学 844 量子力学 A 卷考研专业课真题 ......................................................................117 2017 年聊城大学 2017 年 621 量子力学考研专业课真题........................................................................120 2017 年南京航空航天大学 618 量子力学考研专业课真题.......................................................................122 2017 年宁波大学 872 量子力学初试试卷（B 卷）考研专业课真题.......................................................124 2017 年青岛大学 815 量子力学考研专业课真题........................................................................................127 2017 年山东师范大学 824 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................129 2017 年沈阳工业大学 612 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................131 2017 年四川师范大学 826 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................134 2017 年温州大学 623 量子力学试题 A 考研专业课真题 ..........................................................................136 2017 年湘潭大学 716 量子力学考研专业课真题........................................................................................138 2017 年扬州大学 628 量子力学考研专业课真题........................................................................................139 第六篇、2016 年量子力学考研真题汇编 ...................................................................................................... 141 2016 年安徽师范大学 901 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................141 2016 年北京化工大学量子力学考研专业课真题.........................................................................................143 2016 年杭州师范大学 727 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................145 2016 年华南理工大学 630 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................1472016 年江西师范大学 849 量子力学考研专业课真题 .............................................................................. 149 2016 年聊城大学 621 量子力学考研专业课真题........................................................................................151 2016 年南京航空航天大学 618 量子力学考研专业课真题.......................................................................153 2016 年宁波大学 872 量子力学（B）考研专业课真题.............................................................................155 2016 年青岛大学 815 量子力学考研专业课真题........................................................................................158 2016 年山东建筑大学 906 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................160 2016 年山东师范大学 822 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................162 2016 年沈阳工业大学 612 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................164 2016 年温州大学 623 量子力学 A 考研专业课真题...................................................................................167 2016 年湘潭大学 716 量子力学考研专业课真题........................................................................................169 2016 年燕山大学 818 量子力学考研专业课真题........................................................................................170 2016 年扬州大学 628 量子力学考研专业课真题........................................................................................171 2016 年中国科学技术大学量子力学考研专业课真题.................................................................................173 第七篇、2015 年量子力学考研真题汇编 ...................................................................................................... 175 2015 年安徽师范大学 901 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................175 2015 年北京化工大学量子力学考研专业课真题.........................................................................................177 2015 年杭州师范大学 721 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................179 2015 年河南师范大学 804 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................182 2015 年华东师范大学 622 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................184 2015 年华南理工大学 630 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................188 2015 年江西师范大学 849 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................190 2015 年聊城大学 621 量子力学考研专业课真题........................................................................................192 2015 年南京航空航天大学 618 量子力学考研专业课真题.......................................................................194 2015 年南京师范大学 848 量子力学考研专业课真....................................................................................196 2015 年宁波大学 872 量子力学 A 卷考研专业课真题...............................................................................198 2015 年青岛大学 815 量子力学考研专业课真题........................................................................................200 2015 年山东师范大学 822 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................202 2015 年沈阳工业大学 612 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................204 2015 年温州大学 623 量子力学 A 考研专业课真题...................................................................................207 2015 年湘潭大学量子力学考研专业课真题.................................................................................................209 2015 年扬州大学 628 量子力学考研专业课真题........................................................................................210 2015 年中国科学技术大学量子力学考研专业课真题.................................................................................212 第八篇、2014 年量子力学考研真题汇编 ...................................................................................................... 214 2014 年安徽师范大学 901 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................214 2014 年北京化工大学 862 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................216 2014 年北京科技大学 876 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................218 2014 年杭州师范大学 721 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................223 2014 年湖南师范大学 725 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................225 2014 年华东师范大学 622 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................226 2014 年华南理工大学 630 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................2292014 年聊城大学 619 量子力学考研专业课真题....................................................................................... 231 2014 年南京航空航天大学 618 量子力学考研专业课真题.......................................................................233 2014 年青岛大学 815 量子力学考研专业课真题........................................................................................235 2014 年山东师范大学 824 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................236 2014 年沈阳工业大学 612 量子力学考研专业课真题 ...............................................................................238 2014 年温州大学 623 量子力学 A 考研专业课真题...................................................................................241 2014 年湘潭大学 716 量子力学考研专业课真题........................................................................................243 2014 年燕山大学 818 量子力学考研专业课真题........................................................................................244 2014 年扬州大学 628 量子力学考研专业课真题........................................................................................245 2014 年云南大学 621 量子力学考研专业课真题........................................................................................247 2014 年中国科学技术大学量子力学考研专业课真题.................................................................................249 宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲 ......................................................................................................251 2020 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲............................................................................................... 251 2022 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲............................................................................................... 253 2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研核心笔记...................................................................................255 《量子力学》考研核心笔记.....................................................................................................................255 第 1 章 绪论.................................................................................................................................................... 255 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................255 考研核心笔记......................................................................................................................................................255 第 2 章 波函数和薛定谔方程........................................................................................................................ 267 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................267 考研核心笔记......................................................................................................................................................267 第 3 章 量子力学中的力学量........................................................................................................................ 279 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................279 考研核心笔记......................................................................................................................................................279 第 4 章 态和力学量的表象............................................................................................................................ 301 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................301 考研核心笔记......................................................................................................................................................301 第 5 章 微扰理论............................................................................................................................................ 316 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................316 考研核心笔记......................................................................................................................................................316 第 6 章 散射.................................................................................................................................................... 336 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................336 考研核心笔记......................................................................................................................................................336 第 7 章 自旋与全同粒子................................................................................................................................ 350 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................350 考研核心笔记......................................................................................................................................................350 2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研辅导课件...................................................................................3672023 年宝鸡文理学院 804 量子力学备考信息  宝鸡文理学院 804 量子力学考研初试参考书目  周世勋，《量子力学》(第 2 版),高等教育出版社； 宝鸡文理学院 804 量子力学考研招生适用院系及考试题型 物理学 （1）选择题或填空题（30 分） （2）简答题（40 分） （3）证明题和计算题（80 分）重点名校：量子力学 2014-2021 年考研真题汇编（暂无答案）  第一篇、2021 年量子力学考研真题汇编 2021 年河北科技大学 815 量子力学考研专业课真题2021 年安徽师范大学 706 量子力学考研专业课真题宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲  2020 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲 2022 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研大纲 2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研核心笔记  《量子力学》考研核心笔记 第 1 章 绪论 考研提纲及考试要求 考点：光的本质之争，粒子还是波 考点：光的波动说 考点：光的粒子性实验证据之一——黑体辐射 考点：光的粒子性证据之二光电效应 考点：光的粒子性实验证据之三——康普顿效应 考点：光的波粒二象性 考点：原子结构 考点：实物粒子的波粒二象性 考研核心笔记 【核心笔记】经典物理学的困难 （1）十九世纪末，经典物理学取得巨大成功的同时，人们也发现一些新的现象不能用经典物理学解 释。 （2）这些现象包括：黑体辐射、光电效应、原子的光谱线系、固体在低温下的比热 （3）在这些现象的研究中暴露出经典物理的局限性，显示出它与微观世界的矛盾。 【核心笔记】光的波粒二象性 1.光的本质之争，粒子还是波 （1）光的本质之争由来已久 （2）在牛顿之前就有波动说与粒子说之争 （3）牛顿极力主张光的微粒说(1680 年)，几何光学是微粒说的代表。 （4）在牛顿时代，波动说的代表是荷兰物理学家惠更斯。 （5）那时微粒说占主导地位 2.光的波动说 （1）牛顿去世以后，新的实验事实和波的数学工具发展，使波动说逐渐占据上风。 （2）牛顿死后大约一百年，波动说由法国人费涅尔发展到日臻完善的境地。 （3）费涅尔的理论简洁而有力，对当时的棱镜实验，光的衍射实验等许多复杂现象都能给出漂亮的 解释。 （4）麦克斯韦方程组不仅总结了法拉弟等人电磁学理论，而且预言电磁波。 （5）在麦克斯韦去世 7 年后，1887 年，赫兹用实验证实了麦克斯韦电磁波的预言。 （5）后来人证实光的本质是电磁波，至此，光的波动说完全战胜了微粒说。 3.光的粒子性实验证据之一——黑体辐射 （1）温度大于绝对零度任何物体每时每刻都在向外辐射电磁辐射 （2）基尔霍夫定律：辐射度 r 与吸收本领α的比值与物体的性质无关 r f  T  T T , , ,     （3）比值是温度和波长的普适函数夜幕上星体的辐射度作为波长的函数 （4）为了寻找这个普适函数，人们定义在任何温度下，全部吸收任何波长辐射的物体为绝对黑体， 简称黑体。 （5）黑体的吸收本领 与波长和温度无关，总等于 1 （6）因此，黑体辐射度 什么物体是黑体？什么物体最黑？ （7）针对这个模型加上一些假设，利用热力学理论，维恩得到了黑体辐射能量波长分布函数，即有 名的维恩公式。 （8）与实验结果相比，短波长部分与实验符合较好，长波长部分与实验相差较大。 （9）随后，英国物理学家 Reyleiph 和 Jeans 用经典电磁场理论和统计物理学推导出黑体辐射的新公式。     c kTd r T d 4 ,  2 这个公式只有在波长相当长的部分与实验曲线相符合。 （10）随着波长减小，辐射度无限增大，隐含总发射能量发散。这显然是不正确的 辐射理论出现这种荒唐的局面被称之为“紫外灾难” （11）实际上它不仅是某一个特殊公式的灾难，也是这个公式全部理论基础——经典物理学的灾难 ,T r,T  f ,T（12）1900 年，在 R-J 公式发表之前，德国物理学家 Planck 偶然得到一个经验公式 1 , 5          kT T h e d r d C 当 时，Planck 公式趋于 Wien 公式。 当 时，Planck 公式趋于 R-J 公式。 Planck 公式图示(高温) Planck 公式图示（较高温度）  0  Planck 公式图示（中温） Planck 公式图示（低温） ①许多物理学家立即用这个公式与当时最精密的实验数据对比，发现在整个波长范围内与实验符合得 非常好。 ②这绝非巧合，这个公式中一定蕴含着非常重要，但尚未被人们揭示的科学道理 ③Planck 于是致力于研究这一结果的物理解释 ④经过多次努力，证明这个公式不能从经典物理推导出来。 ⑤摆在 Planck 面前的问题是，要么继续接受经典理论的观点，放弃经验公式。 ⑥要么站在经过实验检验的公式一边，反对经典物理理论。 ⑦Planck 勇敢地选择了后者 （13）Planck 假定，黑体吸收和发射电磁辐射是一份一份吸收和发射能量，每一分的能量为 ，其 中ν为电磁辐射的频率。 一份能量 称为一个能量子，h 称为 Planck 常数 基于这个假设，加上热力学和统计分布的推导就可以得到上述 Planck 公式。 （14）普朗克这一思想完全背离经典物理,受到当时许多人的怀疑和反对,包括当时的物理学泰斗---洛 仑兹。 Planck 本人当时已经认识到它的假设是对经典物理的大胆挑战 普朗克自已也想以某种方式来弥补，他说： “我试图将 h 纳入经典理论的范围,但一切这样的尝试都失败了,这个量非常顽固”. h h h  6.62621034 J.S2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研辅导课件  《量子力学》考研辅导课件  考研精品资料 第 442 页 共 692 页 2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研复习提纲  《量子力学》考研复习提纲  考研精品资料 第 443 页 共 692 页  考研精品资料 第 444 页 共 692 页  考研精品资料 第 445 页 共 692 页  考研精品资料 第 446 页 共 692 页 2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研核心题库  《量子力学》考研核心题库之简答题精编  1． 汞(Hg)的 这条谱线在 磁场的作用下,分裂成三条间隔 的谱线，判断这是正常塞 曼 (Zeeman) 效 应 或 是 由 自 旋 轨 道 耦 合 起 作 用 的 跃 迁 所 引 起 的 反 常 塞 曼 效 应 ( 玻 尔 磁 子 ， )。  【答案】在磁场 B(设沿 z 方向)中，磁矩 M 对哈密顿提供一附加磁能项 (a) 它使原能级 分裂成 若是正常塞曼效应，则不考虑自旋轨道耦合，这时与自旋有关的算子只有式(a)中的 ，但单独的 不 会引起不同自旋态之间的跃迁,故 ，再利用偶极跃迁的选择定则 可知对于正常塞曼 效应，每条光谱线将分裂为三条，而且其间距为 又由 得 这正是所观测到的间距，说明这是正常塞曼效应而不是反常塞曼效应[事实上，由自旋轨道耦合下的 选择定则可推知反常塞曼效应中的谱线间隔和每条谱线分裂的条数(为偶数条)]。 2 ． 已 知 条 件 ： 单 电 子 波 函 数 的 空 间 部 分 分 别 为 和 ，其中 为一维谐振子第 n 个本征函数。  待求问题：体系的波函数 . 相互联系：由于无相互作用， 可由两个单电子波函数的乘积组成；全同性原理要求 为反对称函数，即 【答案】单粒子波函数为空间部分和自旋部分的乘积，两电子的空间波函数不同，能够组成一个对称 波函数 和一个反对称波函数 ，具体形式为 (1) 两电子的自旋波函数可以组成 3 个对称函数 和 1 个反对称函数 。 体系的波函数要求反对称，应该由不同对称性的空间部分和自旋部分组成，即 (2) 共有 4 种可能的状态，前三个空间部分相同，为三重态，后一个为单态。  考研精品资料 第 447 页 共 692 页 3． 以角动量为例说明算子对易关系的数学形式和物理意义  【答案】角动量算符各分量之间有对易关系式： ；角动量平方算符与各分量对易即： 由角动量算符的对易式，我们可以写出任意两个代表力学量的厄米算符 对易关系的普遍形 式： 。 (1)当 为非零算符时( 可为常算符如 )： 力学量 A，B 存在着互相制约关系 表示量子力学中平均值，一般情况下， 不能同时取确定值；在特殊情况下 可以同时取确定值，可以有共同的本征态， 但无共同本征态的完全集，例如：在 的共同本征态 下，当 l=0，m=0 时， ，即 在态 下，都同时取确定值。 (2)当 为零算符时： ，表明 A，B 无制约关系，可以同时取确定值，它们存在共同本征态的完全集， 如： 与 对易， ， ，1，2,3,…，m=0，l，2，3…， 为其共同本征态的完全集。 综上所述，对易式 ，反映了量子力学中，力学量的相互制约程度，这也正是导致一些力 学量只能是量子化的原因，若一切力学量都相互对易，即 量子力学就回到经典力学。 4． (1)判断下列算符哪些是奇宇称算符？哪些是偶宇称算符？哪些两者都不是？  (2)氢原子的定态波函数 是奇宇称还是偶宇称？是否任何氢原子的定态波函数都 有确定的宇称？ 【答案】(1) 是奇宇称算符， 是偶宇称算符 既不是奇宇称算符也不是偶宇称算符. (2) 有确定的宇称 ，因而是奇宇称。但不是任何氢原子的定态波函数都有确 定的宇称(尽管氢原子的宇称是个守恒量)，因为它的定态波函数可能是简并的。例如，如下的波函数： ，是一个定态波函数(有唯一确定的能量),但无确定的宇称。 5． 若 是作用于态空间 的算符， 是作用于态空间 的算符。如何正确理解简略写法 的意 义？证明 的本征值等于 的本征值与 的本征值的和。并回答 的本征矢是否一定为 的本征矢和 的 本征矢的直积。  【答案】 应理解为 其中 和 分别为作用干 和 空间中的单位算符。设 则有 故 的本征值 是 与 的本征值的和  考研精品资料 第 448 页 共 692 页 但不能断言 的本征矢都能写成 及 的本征矢的直积，因为 的本征值可能会出现简并，如当 是二重简并时(此时存在 p，g，使得 )，则 的对应这个本征值的本征矢为 其中 为任意两个复数。由此可见，存在 的不能写成直积形式的本征矢(但总能写成 的本征矢 的直积的线性组合)。 6． (1)定态问题中的态都是定态吗？(2)说明定态和束缚态的区别和联系。(3)证明任何一维束缚定态都 是非简并的。  【答案】(1)尽管定态问题中哈密顿不显含时间，但定态问题中的态不一定都是定态，这是因为定态 是能量具有确定值的态(即能量本征态)，不同能量值的定态的叠加态就不是定态。 (2)束缚态不一定是定态(如束缚态可以是若干不同束缚定态的叠加)，定态也不一定是束缚态(如表示 动量本征态的平面波函数)，但在平方可积的条件下，定态一定是束缚态。 (3)若一维束缚定态是简并的，则对同一能量本征值 E 至少有两个线性独立的本征函数 和 与 之对应 由此知 故 从而有 常数 由于在无穷远处束缚态波函数应为零，故此常数必须是零，所以 对上式积分，可得 ，即 ，这与前面的这两个函数是线性独立的假设相矛盾。 故一维束缚定态只能是非简并的。 7． 若物理量算符 满足如下关系： ，且 的矩阵为 20×20 的对角矩阵，对角元为 各 出现一次， 各出现两次， 各出现四次，0 出现六次，问：  (1) 对应什么物理量？ (2) 能取什么值？这些值在 表象中各自重复出现的次数是多少？如何理解 这些重复出现的情况？ 【答案】(1) 满足角动量的一般定义，故它是角动量算符。 (2)由于在 表象中， 最大值为 ，故角量子数 j 可取 3，又因对角元为±3h 各出现一次， 故 j=3 的子对角块矩阵是一个 又在 j=3 的子块中， 必定出现一次，而题中告诉 各出现两次，故一定有 j=2 的子块一个，又 j=3 和 j=2 的子块中都各出现 一次，故可知 j=1 的子块应该是 4-1-1=2 个，同理可推知 j=0 的子块应 是 6-1-1-2=2 个。 由于 取值为 ，而相应简并度为(2j+1)g(j)，这里 g(j)为有同一 j 的子块数，它也是 和 的一对本征值 和 的简并度，故知 取值为  考研精品资料 第 449 页 共 692 页 相应重复次数为 7，5，6，2，重复次数之和刚好是 20，重复的原因反映了 不构成 C.S.C.O.， 体系还存在别的自由度。 8． 厄米算符 的本征值 与本征矢 分别具有什么性质？  【答案】本征值 为实数，本征矢 构成正交、归一和完备的函数系。 9． 有两个自旋均为 1/2 的粒子，质量分别是 和 ，其相互作用为  碰撞前两粒子自旋态分别是 和 ，给出用分波法计算两自旋同时反向的总截面的可行的实际步骤， 并解释它的理由。 【答案】碰撞前体系的状态是 为了知道碰撞后的状态，我们研究体系的运动积分。由于 (a) 可见 ( 为 和 的约化质量)与 对易，因而它们是运动积分！此外由于是中 心势场，故轨道角动量 也是运动积分。这样，碰撞后的态应该具有如下渐近形式： 这里 和 分别对应总自旋为 1 和总自旋为 0 的情形。将上面的耦合表象重新化成无耦合表象，可以 得出自旋同时倒向的微分截面应为 因而可求出自旋同时倒向的总截面为 注意利用球谐函数的正交性和归一性 得 为了求出 和 ，我们只需分别求出在 S=1 和 S=0 时的 的形式即可，由式(a)知 S=1 时，我们有 ，S=0 时，有 。由 确定 以及由 确定 是用不考虑自旋时的中 心力场中的分波法，而这可按已有的方法去做。 10．态叠加原理可以有如下说法:“如果 和 是体系的两个可能状态,那么它们的线性叠加  也是这个体系的一个可能状态。” (1)有人认为上述说法中的公式可以有如下 4 种理解： ① ②  考研精品资料 第 562 页 共 692 页 2023 年宝鸡文理学院 804 量子力学考研题库[仿真+强化+冲刺]  宝鸡文理学院 804 量子力学考研仿真五套模拟题  2023 年量子力学五套仿真模拟题及详细答案解析（一）  一、简答题  1． 何谓微观粒子的波粒二象性？  【答案】德布罗意物质波假说：包括光子在内所有粒子在运动中都既表现出粒子的行为也表现出波动 的行为，此即运动粒子的波粒二象性。换句话说，具有能量 E 和动量 p 的粒子与具有角频率 和波 矢量 k 的物质波相对应，普朗克常数 是联系两者的纽带。即 此即德布罗意物质波假说的数学形式。 微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它既具有经典粒子的某些属性(具 有确定的质量与电荷)，又具有经典波动的某些属性(具有干涉与衍射现象)，它是经典粒子与经典波动这 一对矛盾的综合体。按照波恩的解释，这里所说的“波”并非实在物理量的波动，只不过是描述粒子在空 间的概率分布的概率波而已。 2． 若 是作用于态空间 的算符， 是作用于态空间 的算符。如何正确理解简略写法 的意 义？证明 的本征值等于 的本征值与 的本征值的和。并回答 的本征矢是否一定为 的本征矢和 的 本征矢的直积。  【答案】 应理解为 其中 和 分别为作用干 和 空间中的单位算符。设 则有 故 的本征值 是 与 的本征值的和 但不能断言 的本征矢都能写成 及 的本征矢的直积，因为 的本征值可能会出现简并，如当 是二重简并时(此时存在 p，g，使得 )，则 的对应这个本征值的本征矢为 其中 为任意两个复数。由此可见，存在 的不能写成直积形式的本征矢(但总能写成 的本征矢 的直积的线性组合)。 3． 两个自旋都是 1/2 的粒子 1 和 2 组成的系统，处于由波函数 描写的 状态，其中 表示自旋朝下(沿-z 方向)， 表示自旋朝上.当数 a 和 b 都不为零时，此态不能表示成两 个单个粒子状态的直接乘积形式 ，称为纠缠态，试求在上面的纠缠态中，  (1)两个粒子的自旋互相平行的概率； (2)两个粒子的自旋互相反平行的概率； (3)此系统处于总自旋为 0 的概率； (4)测量得到粒子 1 自旋朝上的概率为多大？发现粒子 1 自旋朝上时，粒子 2 处于什么状态？  考研精品资料 第 563 页 共 692 页 【答案】(1)两自旋平行的态为 ，或 ， ，这里 表示耦合 基，这两态都与题中的态正交，故此态中两粒子自旋平行的概率为 0。 (2)除了平行就是反平行，因此此态中自旋反平行的概率为 1。 (3)总自旋为 0 的态为 ，因此测量得总自旋为 0 的概率是： (4)测得粒子 1 自旋朝上后，系统进入状态 ,即粒子 2 处于朝下的状态. 测得粒子 1 自旋朝上的概率为 4． 有一均匀磁场，描述它的矢量势的柱坐标分量可取为 。  (1)有哪些守恒量？ (2)利用这些守恒量给出体系的试探解的可能样式(不需实际求解)。 【答案】因体系的哈密顿算符为 再根据题中矢势的形式可知， 中不显含变量 和 z，故角动量算符 和 与 对易，因而 和 是 守恒量，故有如下形式的试探解： 5．导出非定态微扰( 很小)中的关于跃迁概率的一阶 Dirac(狄拉克)近似公式，并分析其成立的条件。 【答案】由能量表象中的薛定谔方程，得到积分方程 其迭代解为 (a) 由 ，即可得出一阶 Dirac 近似公式 一阶 Dirac 近似成立的条件是： (1)初始时刻， (零级近似)。通常跃迁都是指末态不同于初态 (但应注意 与 不相同，并不意味着能量一定不相同，如弹性散射情形那样)。 (2)忽略了从 到 的相反的跃迁。 (3)时间 t 足够小，使得 与 相差不太大(因一阶近似是简单地用 来代替积分式中的 来得到的)。当 t 较大时，不能忽略髙阶修正。由方程(a)知，应有 6． 两个质量为 m,自旋为 1/2,能量为 E 的全同粒子从相反方向入射，发生弹性散射，粒子间的相互作用 为  其中 r 为两粒子间的距离。设两粒子都是非极化的。(1)当入射能量 E 很大时，求微 分散射截面。(2)  考研精品资料 第 564 页 共 692 页 设 在及 方向(为散射角)测得两个出射粒子，求出它们的总自旋为 S=1 的概率，以及两粒子自旋都指 向一粒子入射方向(z 轴方向)的概率。(3)当低能时 ，散射后两粒子总自旋等于 1 的概率是多少？ 【答案】两个质量相同的粒子对头撞，这时实验室系和质心系重合,并且这种碰撞可以通过粒子 1 相 对于粒子 2 的运动表示出来，这一运动在形式上完全等价于一个约化质量为 m/2 的单粒子在以固定原点为 参考点的势场 V(r)中运动。我们取一个粒子的入射方向为 z 方向。入射相对能为 2E，波数为 。由于相互作用与自旋无关，故只需注意这个全同粒子体系波函数的对称性。 (1)由于高能近似条件成立，可采用玻恩近似。空间部分的散射振幅为 (a) 由于是费米子体系，故总的波函数是反对称的。 ①当入射粒子是自旋单态时，由于角动量守恒，散射粒子的总自旋也为单态，即自旋波函数是反称的， 因而空间波函数是对称的。所以此时散射振幅应对称化为 而微分截面为 ②当入射粒子和散射粒子的总自旋为三重态时，即自旋波函数是对称的，因而空间波函数是反称的。 所以此时散射振幅应反称化为 而微分截面为 由于粒子是非极化的，故形成单态的概率为 1/4,形成三重态的概率为 3/4,于是总的微分截面为 将式(a)代入上式并整理得 (2)在 和 方向测得粒子的概率正比于该角度处的微分截面，由于 S=1 的概率为 3/4,故在该角度 处测得总自旋为 S=1 的概率为 两粒子自旋都沿 z 方向的态只有三重态中的一种态|1,1〉，故两粒子自旋都指向一粒子入射方向(z 轴方向)的概率为 (3)在低能置 时，可用分波法处理，此时只需考虑 S 波就够了。而 S 波的空间散射振幅是各向同 性的，故由它只能组成空间对称的空间波函数，由总波函数反对称的要求知，自旋部分必须是反称的，即 二粒子必须处于自旋单态，所以在低能散射中，两粒子处于总自旋态为 S=1 的概率为零。 7． 说明状态波函数 的数学和物理意义，波函数归一化的意义是什么？解释为什么表达力学量的算 符必须是观察算符。  【答案】将态矢 按坐标算符 的本征矢 展开  考研精品资料 第 565 页 共 692 页 上式中的基矢前的系数 正是波函数，即波函数 是态矢 在 上的分量， 形 成波函数空间，它是希尔伯特空间 (平方可积的函数空间)的子空间，即波函数不仅是平方可积的，而且 是充分正规的[处处有定义(必然有界)、单值、连续等]。不满足正规化条件的函数不能作为真实物理态的 状态波函数(对那些绝对“理想化”的情形例外，如单色平面波波函数等)。状态波函数 以下面的方 式描述一个粒子：①它是一种能同自己相干涉的概率振幅。②波函数的绝对值的平方正比于所描写的粒子 在 t 时刻出现在 r 处的概率密度(由谱分解原理和上式可看出)。③它描写一单个粒子而不是这种粒子的统 计分布。 波函数的归一化条件 ，表明在空间任何地方找到粒子的概率为 1，它也反映了粒子数 是守恒的。 表达力学量的算符必须是观察算符有以下三条理由：①观察算符的厄米性，使其本征值为实的，这符 合真实的测量结果总是实数的要求。②观察算符的线性性适应 S 方程的线性性要求，并使态叠加原理得到 满足(因 是观察算符)。③观察算符的本征矢的封闭性，使得任一态矢量均可按其本征矢展开，这保证了 对处于任一状态的体系测量该观察算符所表示的力学量时都能作(概率性的)理论预言。 8． 轨道角动量可以和外磁场的方向平行吗？为什么？  【答案】轨道角动量不能和外磁场的方向平行，因为在外磁场中，原子的附加能量为 ，而 ，此项能量 ，当 L 和 B 平行时，原子处于激发态，不能稳定。 二、计算题  9． 为泡利矩阵，计算 【答案】利用公式 其中对易关系 后面的对易关系的值依次为 将它们代入上式，试读已结束 激活后可查看剩余未读页数！