宝鸡文理学院 612 数学分析考研历年真题答案参考书目

  封面             【初试】2024 年宝鸡文理学院  612 数学分析考研精品资料  附赠:重点名校真题汇编           考研精品资料 第 2 页 共 815 页 【初试】2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研精品资料   说明：本套考研资料由本机构多位高分研究生潜心整理编写，2024 年考研初试首选资料。  一、重点名校考研真题汇编及考研大纲  1．附赠重点名校：数学分析 2016-2022 年考研真题汇编（暂无答案） 说明：本科目没有收集到历年考研真题，赠送重点名校考研真题汇编，因不同院校真题相似性极高，甚至 部分考题完全相同，建议考生备考过程中认真研究其他院校的考研真题。 2.宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲  ①2023 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲。 ②2022 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲。 说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复 习的首选资料，本项为免费提供。 二、2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研资料  3．《数学分析》考研相关资料  （1）《数学分析》[笔记+课件+提纲]青岛掌л心博阅电子书 ①2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析之《数学分析》考研复习笔记。  说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。 ②2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析之《数学分析》本科生课件。  说明：参考书配套授课 PPT 课件，条理清晰，内容详尽，非本校课件，版权归属制作教师，本项免费赠送。 ③2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析之《数学分析》复习提纲。  说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。 （2）《数学分析》考研核心题库（含答案）  ①2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研核心题库之证明题精编。  ②2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研核心题库之解答题精编。  说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类 汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。 （3）《数学分析》考研题库[仿真+强化+冲刺]  ①2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研专业课五套仿真模拟题。  说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。 ②2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研强化五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备。 ③2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课冲刺检测使用。共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺必备资料。 三、资料全国统一零售价  考研精品资料 第 3 页 共 815 页 4．本套考研资料包含以上一、二部分（不含教材），全国统一零售价：[￥]  特别说明：青岛掌ㅐ心博阅电子书 ①本套资料由本机构编写组按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复习参 考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。 ②资料中若有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感谢， 如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！ 四、2024 年研究生入学考试指定/推荐参考书目（资料不包括教材）  5．宝鸡文理学院 612 数学分析考研初试参考书 华东师范大学数学系编.《数学分析》(上、下册)第四版.北京：高等教育出版社，2010,7. 五、本套考研资料适用学院和专业及考试题型  数学与信息科学学院：基础数学/计算数学/应用数学 （1）选择或填空题（24 分） （2）讨论与简答题（32 分） （3）计算题(64 分) （4）证明题（30 分） 版权声明   编写组依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面 上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由 于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在 此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您 沟通处理。 因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读 者批评指正。   考研精品资料 第 4 页 共 815 页 目录 封面............................................................................................................................................................. 1 目录............................................................................................................................................................. 4 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析备考信息 ............................................................................................10 宝鸡文理学院 612 数学分析考研初试参考书目 ............................................................................................. 10 宝鸡文理学院 612 数学分析考研招生适用院系及考试题型.......................................................................... 10 宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲 ........................................................................................................11 2023 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲................................................................................................. 11 2022 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲................................................................................................. 16 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研核心笔记.....................................................................................19 《数学分析》考研核心笔记.......................................................................................................................19 第 1 章 实数集与函数...................................................................................................................................... 19 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................19 考研核心笔记........................................................................................................................................................19 第 2 章 数列极限.............................................................................................................................................. 28 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................28 考研核心笔记........................................................................................................................................................28 第 3 章 函数极限.............................................................................................................................................. 35 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................35 考研核心笔记........................................................................................................................................................35 第 4 章 函数连续性.......................................................................................................................................... 50 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................50 考研核心笔记........................................................................................................................................................50 第 5 章 导数和微分.......................................................................................................................................... 60 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................60 考研核心笔记........................................................................................................................................................60 第 6 章 微分中值定理及其应用...................................................................................................................... 68 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................68 考研核心笔记........................................................................................................................................................68 第 7 章 实数的完备性...................................................................................................................................... 78 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................78 考研核心笔记........................................................................................................................................................78 第 8 章 不定积分.............................................................................................................................................. 84 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................84 考研核心笔记........................................................................................................................................................84 第 9 章 定积分.................................................................................................................................................. 90  考研精品资料 第 5 页 共 815 页 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................90 考研核心笔记........................................................................................................................................................90 第 10 章 定积分的应用.................................................................................................................................... 97 考研提纲及考试要求...........................................................................................................................................97 考研核心笔记........................................................................................................................................................97 第 11 章 反常积分.......................................................................................................................................... 107 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................107 考研核心笔记......................................................................................................................................................107 第 12 章 数项级数.......................................................................................................................................... 111 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................111 考研核心笔记......................................................................................................................................................111 第 13 章 函数列与函数项级数...................................................................................................................... 125 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................125 考研核心笔记......................................................................................................................................................125 第 14 章 幂级数.............................................................................................................................................. 129 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................129 考研核心笔记......................................................................................................................................................129 第 15 章 傅里叶级数...................................................................................................................................... 137 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................137 考研核心笔记......................................................................................................................................................137 第 16 章 多元函数的极限与连续.................................................................................................................. 147 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................147 考研核心笔记......................................................................................................................................................147 第 17 章 多元函数微分学.............................................................................................................................. 150 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................150 考研核心笔记......................................................................................................................................................150 第 18 章 隐函数定理及其应用...................................................................................................................... 160 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................160 考研核心笔记......................................................................................................................................................160 第 19 章 含参量积分...................................................................................................................................... 164 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................164 考研核心笔记......................................................................................................................................................164 第 20 章 曲线积分.......................................................................................................................................... 172 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................172 考研核心笔记......................................................................................................................................................172 第 21 章 重积分.............................................................................................................................................. 175 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................175 考研核心笔记......................................................................................................................................................175 第 22 章 曲面积分.......................................................................................................................................... 183 考研提纲及考试要求.........................................................................................................................................183  考研精品资料 第 6 页 共 815 页 考研核心笔记......................................................................................................................................................183 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研辅导课件...................................................................................190 《数学分析》考研辅导课件 ........................................................................................................................... 190 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研复习提纲...................................................................................384 《数学分析》考研复习提纲 ........................................................................................................................... 384 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研核心题库...................................................................................394 《数学分析》考研核心题库之证明题精编................................................................................................... 394 《数学分析》考研核心题库之解答题精编................................................................................................... 425 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研题库[仿真+强化+冲刺] .............................................................453 宝鸡文理学院 612 数学分析考研仿真五套模拟题........................................................................................ 453 2024 年数学分析五套仿真模拟题及详细答案解析（一）..........................................................................453 2024 年数学分析五套仿真模拟题及详细答案解析（二）..........................................................................464 2024 年数学分析五套仿真模拟题及详细答案解析（三）..........................................................................472 2024 年数学分析五套仿真模拟题及详细答案解析（四）..........................................................................479 2024 年数学分析五套仿真模拟题及详细答案解析（五）..........................................................................487 宝鸡文理学院 612 数学分析考研强化五套模拟题........................................................................................ 497 2024 年数学分析五套强化模拟题及详细答案解析（一）..........................................................................497 2024 年数学分析五套强化模拟题及详细答案解析（二）..........................................................................505 2024 年数学分析五套强化模拟题及详细答案解析（三）..........................................................................515 2024 年数学分析五套强化模拟题及详细答案解析（四）..........................................................................524 2024 年数学分析五套强化模拟题及详细答案解析（五）..........................................................................532 宝鸡文理学院 612 数学分析考研冲刺五套模拟题........................................................................................ 542 2024 年数学分析五套冲刺模拟题及详细答案解析（一）..........................................................................542 2024 年数学分析五套冲刺模拟题及详细答案解析（二）..........................................................................553 2024 年数学分析五套冲刺模拟题及详细答案解析（三）..........................................................................561 2024 年数学分析五套冲刺模拟题及详细答案解析（四）..........................................................................572 2024 年数学分析五套冲刺模拟题及详细答案解析（五）..........................................................................583 附赠重点名校：数学分析 2016-2022 年考研真题汇编（暂无答案）.......................................................593 第一篇、2022 年数学分析考研真题汇编 ...................................................................................................... 593 2022 年广东财经大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................593 2022 年扬州大学 601 数学分析考研专业课真题........................................................................................595 2022 年沈阳工业大学数学分析考研专业课真题.........................................................................................597 2022 年汕头大学 612 数学分析考研专业课真题........................................................................................599 2022 年西安工程大学 613 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................601 2022 年北京邮电大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................603 2022 年暨南大学 709 数学分析考研专业课真题........................................................................................606  考研精品资料 第 7 页 共 815 页 2022 年四川轻化工大学 601 数学分析考研专业课真题 ...........................................................................608 2022 年河北科技大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................610 第二篇、2021 年数学分析考研真题汇编 ...................................................................................................... 612 2021 年安徽师范大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................612 2021 年北京邮电大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................614 2021 年广东财经大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................616 2021 年广东工业大学 602 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................617 2021 年暨南大学 709 数学分析考研专业课真题........................................................................................619 2021 年宁波大学 671 数学分析考研专业课真题........................................................................................622 2021 年山东科技大学 710 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................624 2021 年沈阳工业大学 611 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................626 2021 年扬州大学 601 数学分析考研专业课真题........................................................................................628 2021 年扬州大学 840 数学分析考研专业课真题........................................................................................630 2021 年浙江工商大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................632 第三篇、2020 年数学分析考研真题汇编 ...................................................................................................... 634 2020 年四川轻化工大学 601 数学分析考研专业课真题 ...........................................................................634 2020 年北京邮电大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................636 2020 年广西民族大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................638 2020 年浙江工商大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................640 2020 年扬州大学 601 数学分析考研专业课真题........................................................................................642 2020 年重庆邮电大学 602 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................644 2020 年广东工业大学 602 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................647 2020 年沈阳工业大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................649 2020 年中国海洋大学 617 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................651 2020 年西安建筑科技大学 620 数学分析考研专业课真题.......................................................................653 2020 年赣南大学 623 数学分析考研专业课真题........................................................................................655 2020 年浙江工业大学 665 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................657 2020 年长沙理工大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................658 2020 年中国计量大学 713 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................660 2020 年河北师范大学 724 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................662 2020 年武汉科技大学 840 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................664 2020 年安徽师范大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................666 2020 年汕头大学 612 数学分析考研专业课真题........................................................................................668 第四篇、2019 年数学分析考研真题汇编 ...................................................................................................... 670 2019 年广西民族大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................670 2019 年青岛理工大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................672 2019 年江苏大学 601 数学分析考研专业课真题........................................................................................674 2019 年扬州大学 601 数学分析考研专业课真题........................................................................................676 2019 年浙江海洋大学 601 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................678 2019 年南昌航空大学 609 数学分析考研专业课真题 ...............................................................................680  考研精品资料 第 10 页 共 815 页 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析备考信息  宝鸡文理学院 612 数学分析考研初试参考书目  华东师范大学数学系编.《数学分析》(上、下册)第四版.北京：高等教育出版社，2010,7. 宝鸡文理学院 612 数学分析考研招生适用院系及考试题型 数学与信息科学学院：基础数学/计算数学/应用数学 （1）选择或填空题（24 分） （2）讨论与简答题（32 分） （3）计算题(64 分) （4）证明题（30 分）  考研精品资料 第 11 页 共 815 页 宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲  2023 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研大纲  考研精品资料 第 12 页 共 815 页  考研精品资料 第 13 页 共 815 页  考研精品资料 第 14 页 共 815 页  考研精品资料 第 19 页 共 815 页 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研核心笔记  《数学分析》考研核心笔记  第 1 章 实数集与函数  考研提纲及考试要求  考点：实数及其性质： 考点：实数的一些主要性质 考点：绝对值与不等式 考点：几个重要不等式 考点：有界数集确界原理 考研核心笔记  【核心笔记】实数  1.实数及其性质  回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： 若规定： 则有限十进小数都能表示成无限循环小数。 当 为整数时，则记为 （1）实数大小的比较 定义 1：给定两个非负实数 其中 为非负整数， 若由 ① 则称 与 相等，记为 ②若存在非负整数 ，使得 ，而 ，则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或 ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 ，若按定义 1 有 ，则称 （2）实数的有理数近似表示  考研精品资料 第 20 页 共 815 页 定义 2：设 为非负实数，称有理数 为实数 的 位不足近似值， 而有理数称为 的 位过剩近似值， 对于负实数 x 的 n 位不足近似值规定为： ； x 的 n 位过剩近似值规定为： 比如 则 1.4,1.41,1.414,1.4142, 称为 的不足近似值； 1.5,1.42,1.415,1.4143, 称为 的过剩近似值。 命题设 为两个实数，则 2.实数的一些主要性质  （1）四则运算封闭性: （2）有序性:即 ，必有一个成立。 （3）传递性：即 （4）阿基米德性:即 （5）稠密性:有理数和无理数是稠密性的。 （6）实数集的几何表示───数轴:例如： 3.绝对值与不等式  绝对值定义： 从数轴上看：绝对值就是到原点的距离：  考研精品资料 第 21 页 共 815 页 4.几个重要不等式  （1） （2）对 记 (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 等号当且仅当 时成立. （3）伯努利不等式 这是由于对 由二项展开式 因此有: 大于上式右端任何一项. 【核心笔记】数集确界原理  1.区间与邻域  （1）区间： 称为开区间，记为 称为闭区间，记为 半开区间： 称为半开半闭，记为 称为半开半闭，记为 ， 或 为无限区间。 （2）邻域 其中 称为 的 邻域，记为  考研精品资料 第 22 页 共 815 页 而点集 为点 的去心 邻域， 即 2.有界数集确界原理  （1）有界数集: 定义(上、下有界,有界) 定义 1：设 为 中的一个数集。若存在数 ，使得对一切 ，都有 ，则称 为 有上界（下界）的数集，数 称为 的一个上界 （下界）。若数集 既有上界又有下界，则 为有 界集，若 不是有界.则称 为无界集。 例如：闭区间、 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集. （2）无界数集:对任意 ，存在 ，则称 S 为无界集。 等都是无界数集,例证明集合是无界数集 （3）上下确界 先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它 为数集 S 的上确界；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。 精确定义 定义 2：设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足一下两条： ①对一切 有 ，即 是数集 S 的上界； ②对任何 存在 使得 （即 是 S 的最小上界） 则称数 为数集 S 的上确界。记作 定义 3：设 S 是 R 中的一个数集，若数 满足以下两条： 对一切 有 ，即 是数集 S 的下界；  考研精品资料 第 190 页 共 815 页 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研辅导课件  《数学分析》考研辅导课件  考研精品资料 第 191 页 共 815 页  考研精品资料 第 192 页 共 815 页  考研精品资料 第 193 页 共 815 页  考研精品资料 第 384 页 共 815 页 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研复习提纲  《数学分析》考研复习提纲  考研精品资料 第 385 页 共 815 页  考研精品资料 第 386 页 共 815 页  考研精品资料 第 387 页 共 815 页  考研精品资料 第 394 页 共 815 页 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研核心题库  《数学分析》考研核心题库之证明题精编  1． 若 ，其中 f 是可微函数  证明： . 【答案】令 ，所以 2． 设 ，证明：数列 收敛，并求极限 .  【答案】当 时，可得 ；当 时，可得 ，因此对于任意的 n，有 进一步得到 数列 单调减少有下界，数列 单调增加有上界，因此 与 都收敛. 不妨假设 由 得到 ，进一步得到 ，因此 3． 证明：  （1） 在不含 =0 的任何区间上是连续函数； （2） 在（0，2）内连续. 【答案】 （ 1 ） 设 使 或 . 不妨设  考研精品资料 第 395 页 共 815 页 即 收 敛 ， 则 在任何 区 间 上 一 致 收 敛 . 所 以 在 上连续. 下面证明 时， 不存在. 而 所以 不存在.即在 =0 处 F（a）不连续. （2）由 ，其中 . 由 根据 Cauchy 判别法：当 p-1＜1 即 p＜2 时，上面第一个积分收敛；当 1-p＜1 即 p＞0 时，第二个积 分收敛.故当 0＜p＜2 时， 收敛. 在（0，2）内任取 可证积分 在 内一致收敛，故 F（p） = 在（0，2）内连续. 4． 求 在区间 上的傅里叶级数展开式，并由此证明  【答案】因为 f（x）在 上可积，所以可展开成傅里叶级数.而 故 显然，当 时, 连续，故  考研精品资料 第 396 页 共 815 页 当 x=0 时，级数收敛于 .于是由式（1）可得 再在式（1）中，令 ，可得 5． 设 f（t）在 分段连续，当 t=0 时，连续且有单侧导数，证明当 时，  【答案】由于 在第一个积分中令 x=-t 则有 所以 由 而 在 上 分 段 连 续 ， 故 可 积 和 绝 对 可 积 ， 由 Riemann 引 理 ， ，而 ，故它是 上的有界连续函数. 在 t=0 时定义它的值为 0，则 与 当 时收敛性相 同.又 所以 在 上可积和绝对可积，  考研精品资料 第 397 页 共 815 页 由 Riemann 引理， ， 综上所述，当 时， 6． 设 在闭区间[a,b]上二次可微， .  （1）试证存在 ，使得 （1） 说明系数 4 是最好的，即对任何 M＞4,总可找一具体的[a,b]及其上满足条件的 ,使对一切 ，都有 ； （2）如果再设 常数，试证存在 ，使 （2） 【答案】（1）将 在 点作泰勒展开， ，其中 在 x 与 c 之间. 在上式中分别令 x=a，x=b 可得 ， . 将上两式相减，并注意到 可得 . 令 ，即得式（1）成立. 下面我们举例说明式（1）中的系数 4 是最好的. 取 .显然 在[-1,1]上二次可微， 且 .而 欲使 （3） 成立，必须有  考研精品资料 第 453 页 共 815 页 2024 年宝鸡文理学院 612 数学分析考研题库[仿真+强化+冲刺]  宝鸡文理学院 612 数学分析考研仿真五套模拟题  2024 年数学分析五套仿真模拟题及详细答案解析（一）  一、证明题  1． 证明下列命题.  （1）设 在 上连续，满足 ，设 ， . 证明：① 为收敛数列；②设 ，则有 ；③若条件改为 ， 则 t=0. （2）设 在 上有二阶连续导数. ， .设 ，证明：① 为收敛数列并求 ：② 是否收敛？若不收敛，则 说明理由.若收敛.则求极限. 【答案】①因 故 .这表明 为单调递减数 列.又因 .所以 .从而数列 单调递减有下界，故 为收敛 数列. ②因 在 上连续，且 ，故 ③由 及 知 .若 ，则 且 ，这与 矛盾.所以 t=0. （2）由（1）知 为收敛数列. .下证： 收敛. 由 得 .由泰勒公式 .由 stolz 公式 故 为收敛数列，且 2． 设二元函数 f（x,y）的两个混合偏导数 在（0,0）点附近存在，且 在（0,0） 点连续.证明： .  【答案】记 ，  考研精品资料 第 454 页 共 815 页 则 和 . 一方面， 另一方面， 由上面两式，有 由 在（0,0）点的连续性，可知 于是，有 特别地，当 沿着直线 趋向于（0,0）时，有 3． 设函数 f（x），g（x）均为定义在[a，b]上的有界函数.证明：若仅在[a，b]中有限个点处 ， 则当函数 f（x）在[a，b]上可积时，g（x）在[a，b]上也可积，并且有  【答案】不妨假设 F（x）=g（x）-f（x），则 F（x）仅在[a，b]中有限个点处不为零，从而 F（x） 在[a，b]上可积，且对[a，b]作任意划分 ，取 使得 ， 则 F（x）在[a，b]上可积，从而 对任意划分 P 和每个 ，有 F（x），f（x）在[a，b]上可积，令 取极限得到 g（x）在[a，b]上也 可积，并且有 即  考研精品资料 第 455 页 共 815 页 4． 设 A 为三阶实对称方阵，定义函数  证明：h（x.y.z）在条件 下的最大值为矩阵 A 的最大特征值. 【答案】应用 Lagrange 乘数法，令 对 L 求一阶偏导数，并令它们都等于 0，则有 由此方程组知解 为 A 的特征值，（x，y，z）为相应的特征向量，此时 .又叫最大值只能 在这些解中取到，故 h（x，y，z）在条件 下的最大值为矩阵 A 的最大特征值. 5． 设 在[a，b]上有定义，且 ， .在以下两种情况下，证明：存在一点 使 .  （1）设 在 上连续；（2）设 在 上单调增加但未必连续. 【答案】（1）设 ，则 在[a，b]上连续，且 ， . 若 ，则 f（a）=a，即 a 为 的不动点.若 ，则 f（b）=b，即 b 为 的不动点. 若 F（a）＞0，F（b）<0，则由根的存在性定理，在（a，b）的内至少有一个点 ，使 ，即 ， 亦即 为 的不动点. 综上所述， 在[a，b]内至少有一个不动点. （2）设 在[a，b]上单调增加.作曲线 ，易知 在 上方， 在 的下方. 取[a，b]的中点 ，若点 在直线 y=x 上即证.否则点 C 或在直线上方或在直线下方. 总之，存在 使 在 上方， 在 y=x 的下方. 这样继续下去，存在区间套 ，满足： 由区间套定理， ，且 . 由 单调不减，对 有 ，且 .让 得 .于是 . 6． 证明下列结论.  （1）设函数 u=f（z），其中 z 由方程 确定， 为可微函数.证明： . （2）设函数 u=u（x，y）由方程 确定，证明 . （3）设函数 u=f（z），z 由方程 确定， 任意阶可微.试证明：  考研精品资料 第 456 页 共 815 页 . 【答案】（1）对方程 两边求微分得 于是 . 所以 ， 故 （2）由 有 由 有 *所以 所以 . （3）对方程 求微分得 于是 . 所以 . 于是 . 假设 n=k-1 时成立 .下证:当 n=k 时， 成立.  考研精品资料 第 593 页 共 815 页 附赠重点名校：数学分析 2016-2022 年考研真题汇编（暂无答案）  第一篇、2022 年数学分析考研真题汇编 2022 年广东财经大学 601 数学分析考研专业课真题  考研精品资料 第 594 页 共 815 页  考研精品资料 第 595 页 共 815 页 2022 年扬州大学 601 数学分析考研专业课真题  考研精品资料 第 596 页 共 815 页试读已结束 激活后可查看剩余未读页数！