上海社会科学院 915 统计学考研真题参考书目大纲复习资料

         封面        【初试】2023 年上海社会科学院  915 统计学（概率论和统计学）考研精品资 料            考研精品资料 第 2 页 共 632 页 【初试】2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研精品资料   说明：本套资料由高分研究生潜心整理编写，高清 PDF 电子版支持打印，考研首选资料。  一、重点名校考研真题汇编及考研大纲  1．重点名校：概率论与数理统计 2010-2021 年考研真题汇编（暂无答案）  说明：本科目没有收集到历年考研真题，赠送重点名校考研真题汇编，因不同院校真题相似性极高，甚至 部分考题完全相同，建议考生备考过程中认真研究其他院校的考研真题。 2.上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲 ①2021 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲。 ②2022 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲。 说明：考研大纲给出了考试范围及考试内容，是考研出题的重要依据，同时也是分清重难点进行针对性复 习的首选资料，本项为免费提供。 二、2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研资料  3．《概率论与数理统计教程》考研相关资料  （1）《概率论与数理统计教程》[笔记+课件+提纲]  ①2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）之《概率论与数理统计教程》考研复习笔记。  说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。 ②2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）之《概率论与数理统计教程》本科生课件。  说明：参考书配套授课 PPT 课件，条理清晰，内容详尽，非本校课件，版权归属制作教师，本项免费赠送。 ③2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）之《概率论与数理统计教程》复习提纲。  说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。 4．《概率论与数理统计》考研相关资料  （1）《概率论与数理统计》[笔记+提纲]  ①2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）之《概率论与数理统计》考研复习笔记。  说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。 ②2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）之《概率论与数理统计》考研知识点纲要。  说明：该科目复习考试范围框架，汇总出了考试知识点，有的放矢，提高复习针对性。 5．上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研核心题库（含答案）  ①2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研核心题库之计算题精编。  ②2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研核心题库之证明题精编。  说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类 汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。 6．上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研题库[仿真+强化+冲刺]  ①2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研专业课五套仿真模拟题。  考研精品资料 第 3 页 共 632 页 说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。 ②2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研强化五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备。 ③2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。  说明：专业课冲刺检测使用。共五套冲刺预测试题，均有详细答案解析，最后冲刺必备资料。 三、电子版资料全国统一零售价  7.本套考研资料包含以上一、二部分（高清 PDF 电子版，不含教材），全国统一零售价：[￥]  特别说明：  ①本套资料由本机构编写组按照考试大纲、真题、指定参考书等公开信息整理收集编写，仅供考研复习参 考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们将立即处理。 ②资料中若有真题及课件为免费赠送，仅供参考，版权归属学校及制作老师，在此对版权所有者表示感谢， 如有异议及不妥，请联系我们，我们将无条件立即处理！ 四、2023 年研究生入学考试指定/推荐参考书目（资料不包括教材）  8．上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研初试参考书  概率论与数理统计教程，高等教育出版社。 概率论与数理统计，高等教育出版社 五、本套考研资料适用院系/专业  经济研究所 版权声明   编写组依法对本书享有专有著作权，同时我们尊重知识产权，对本电子书部分内容参考和引用的市面 上已出版或发行图书及来自互联网等资料的文字、图片、表格数据等资料，均要求注明作者和来源。但由 于各种原因，如资料引用时未能联系上作者或者无法确认内容来源等，因而有部分未注明作者或来源，在 此对原作者或权利人表示感谢。若使用过程中对本书有任何异议请直接联系我们，我们会在第一时间与您 沟通处理。 因编撰此电子书属于首次，加之作者水平和时间所限，书中错漏之处在所难免，恳切希望广大考生读 者批评指正。   考研精品资料 第 4 页 共 632 页 目录 封面 ............................................................................................................................................................... 1 目录 ............................................................................................................................................................... 4 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）备考信息 ............................................................. 9 上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研初试参考书目 ........................................................... 9 上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研招生适用院系 ........................................................... 9 重点名校：概率论与数理统计 2010-2021 年考研真题汇编（暂无答案） ................................................. 10 第一篇、2021 年概率论与数理统计考研真题汇编 ....................................................................................... 10 2021 年安徽师范大学 895 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................10 2021 年南京审计大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................12 2021 年天津商业大学 817 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................14 2021 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................19 第二篇、2020 年概率论与数理统计考研真题汇编 ....................................................................................... 21 2020 年南京审计大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................21 2020 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................23 2020 年天津商业大学 817 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................25 2020 年安徽师范大学 895 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................30 2020 年武汉科技大学 831 概率论与数理统计考研专业课真题及答案 ......................................................32 第三篇、2019 年概率论与数理统计考研真题汇编 ....................................................................................... 43 2019 年江苏大学 854 概率论与数理统计考研专业课真题 ...........................................................................43 2019 年江苏大学 886 概率论与数理统计考研专业课真题 ...........................................................................46 2019 年闽南师范大学概率论与数理统计考研专业课真题 ...........................................................................50 2019 年南京审计大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................53 2019 年天津商业大学 817 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................55 2019 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................62 第四篇、2018 年概率论与数理统计考研真题汇编 ....................................................................................... 64 2018 年江西财经大学 808 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................64 2018 年江西财经大学 837 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................66 2018 年武汉科技大学 831 概率论与数理统计（含答案）考研专业课真题 .............................................68 2018 年安徽师范大学 895 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................77 2018 年赣南师范大学 850 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................80 2018 年江苏大学 886 概率论与数理统计考研专业课真题 ...........................................................................83 2018 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................86 2018 年浙江海洋大学 614 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................87 第五篇、2017 年概率论与数理统计考研真题汇编 ....................................................................................... 92 2017 年广东财经大学 807 概率论与数理统计考研专业课真题 ..................................................................92 2017 年武汉科技大学 831 概率论与数理统计考研专业课真题 .................................................................95  考研精品资料 第 5 页 共 632 页 2017 年浙江海洋大学 614 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................105 2017 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................110 第六篇、2016 年概率论与数理统计考研真题汇编 ..................................................................................... 112 2016 年广东财经大学 807 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................112 2016 年青岛大学 619 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................115 2016 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................118 2016 年重庆工商大学 806 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................120 2016 年重庆工商大学 806 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................123 第七篇、2015 年概率论与数理统计考研真题汇编 ..................................................................................... 126 2015 年电子科技大学 857 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................126 2015 年江苏大学 854 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................129 2015 年武汉科技大学 831 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................132 2015 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................135 第八篇、2014 年概率论与数理统计考研真题汇编 ..................................................................................... 137 2014 年中国传媒大学概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................137 2014 年安徽师范大学 895 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................139 2014 年电子科技大学（成都）857 概率论与数理统计考研专业课真题 .................................................141 2014 年江苏大学 854 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................144 2014 年解放军信息工程大学概率论与数理统计考研专业课真题 ............................................................146 2014 年青岛大学 619 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................148 2014 年山东科技大学 832 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................151 2014 年武汉科技大学 831 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................153 2014 年中国科学技术大学概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................156 第九篇、2013 年概率论与数理统计考研真题汇编 ..................................................................................... 160 2013 年江苏大学 854 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................160 2013 年山东科技大学 832 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................162 2013 年中国科学技术大学概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................165 第十篇、2012 年概率论与数理统计考研真题汇编 ..................................................................................... 168 2012 年江苏大学 854 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................168 2012 年青岛科技大学概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................171 2012 年沈阳工业大学概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................173 2012 年武汉科技大学 831 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................174 2012 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................179 2012 年中国科学技术大学概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................181 2012 年中国科学院大学概率论与数理统计考研专业课真题 ....................................................................183 第十一篇、2011 年概率论与数理统计考研真题汇编 ................................................................................. 186 2011 年江苏大学 854 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................186 2011 年浙江工商大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................188 2011 年中国科学技术大学概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................190 第十二篇、2010 年概率论与数理统计考研真题汇编 ................................................................................. 192  考研精品资料 第 6 页 共 632 页 2010 年江苏大学 854 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................192 2010 年青岛大学 619 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................194 2010 年武汉科技大学 823 概率论与数理统计考研专业课真题 ................................................................197 2010 年云南大学 824 概率论与数理统计考研专业课真题 .........................................................................200 上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲 ......................................................................203 2021 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲 .......................................................... 203 2022 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲 .......................................................... 204 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研核心笔记 ..................................................205 《概率论与数理统计教程》考研核心笔记 ................................................................................................205 第 1 章 随机事件与概率 ............................................................................................................................... 205 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................205 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................205 第 2 章 随机变量及其分布 ........................................................................................................................... 214 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................214 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................214 第 3 章 多维随机变量及其分布 ................................................................................................................... 231 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................231 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................231 第 4 章 大数定律与中心极限定理 ............................................................................................................... 245 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................245 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................245 第 5 章 统计量及其分布 ............................................................................................................................... 257 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................257 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................257 第 6 章 参数估计 ........................................................................................................................................... 271 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................271 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................271 第 7 章 假设检验 ........................................................................................................................................... 287 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................287 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................287 第 8 章 方差分析与回归分析 ....................................................................................................................... 300 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................300 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................300 《概率论与数理统计》考研核心笔记 ........................................................................................................312 第 1 章 概率论的基本概念 ........................................................................................................................... 312 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................312 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................312  考研精品资料 第 7 页 共 632 页 第 2 章 随机变量及其分布 ........................................................................................................................... 325 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................325 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................325 第 3 章 多维随机变量及其分布 ................................................................................................................... 332 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................332 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................332 第 4 章 随机变量的数字特征 ....................................................................................................................... 344 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................344 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................344 第 5 章 大数定律及中心极限定理 ............................................................................................................... 352 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................352 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................352 第 6 章 样本及抽样分布 ............................................................................................................................... 356 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................356 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................356 第 7 章 参数估计 ........................................................................................................................................... 363 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................363 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................363 第 8 章 假设检验 ........................................................................................................................................... 369 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................369 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................369 第 9 章 方差分析及回归分析 ....................................................................................................................... 385 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................385 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................385 第 10 章 BOOTSTRAP 方法 ................................................................................................................................ 401 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................401 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................401 第 11 章 在数理统计中应用 EXCEL 软件 ....................................................................................................... 406 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................406 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................406 第 12 章 随机过程及其统计描述 ................................................................................................................. 409 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................409 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................409 第 13 章 马尔可夫链 ..................................................................................................................................... 421 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................421 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................421 第 14 章 平稳随机过程 ................................................................................................................................. 424 考研提纲及考试要求 ........................................................................................................................................424 考研核心笔记 .....................................................................................................................................................424  考研精品资料 第 9 页 共 632 页 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）备考信息  上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研初试参考书目  概率论与数理统计教程，茆诗松、程依明、濮晓龙，高等教育出版社。 概率论与数理统计，浙江大学，高等教育出版社 上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研招生适用院系 经济研究所  考研精品资料 第 10 页 共 632 页 重点名校：概率论与数理统计 2010-2021 年考研真题汇编（暂无答案）   第一篇、2021 年概率论与数理统计考研真题汇编  2021 年安徽师范大学 895 概率论与数理统计考研专业课真题  考研精品资料 第 11 页 共 632 页  考研精品资料 第 12 页 共 632 页 2021 年南京审计大学 813 概率论与数理统计考研专业课真题  考研精品资料 第 13 页 共 632 页  考研精品资料 第 203 页 共 632 页 上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲  2021 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲  考研精品资料 第 204 页 共 632 页 2022 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研大纲  考研精品资料 第 205 页 共 632 页 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研核心笔记  《概率论与数理统计教程》考研核心笔记 第 1 章 随机事件与概率 考研提纲及考试要求 考点：随机现象 考点：样本空间 考点：随机事件 考点：随机变量 考点：事件间的关系 考研核心笔记 【核心笔记】随机事件及其运算  1.随机现象  概率论与数理统计的研究对象是随机现象. 定义在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象. 随机现象的特点： 结果不止一个； 哪一个结果出现事先不知道. 随机试验：在相同条件下可以重复的随机现象. 概率论与数理统计主要研究能大量重复的随机现象. 2.样本空间  定义：随机现象的一切可能结果组成的集合称为样本空间，记为Ω = {ω} 其中，ω 表示基本结果，称为样本点. 离散样本空间和连续样本空间: 样本点个数为有限或可列的样本空间称为离散样本空间.如Ω1，Ω2 ，Ω3 . 样本点个数为不可列无限个的样本空间称为连续样本空间.如Ω4 ，Ω5 . 3.随机事件  定义随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 事件的图形表示称为维恩图. 由样本空间中的单个元素组成的子集称为基本事件. Ω 称为必然事件，∅称为不可能事件. 4.随机变量  定义用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 随机变量常用大写字母X ,Y ,Z 来表示，很多随机事件可用随机变量表示.  考研精品资料 第 206 页 共 632 页 5.事件间的关系  事件之间的关系包括包含关系、相等关系、互不相容关系等，以及各种关系的维恩图表示. 包含关系 若 A ⊂ B ，则称事件 B 包含事件 A ，即事件 A 发生必导致事件 B 发生. 二相等关系 若 A ⊂ B ，且 B ⊂ A，即 A = B ，称事件 A 与事件 B 相等. 三互不相容 若 A B = Φ ，则称事件 A 与事件 B 是互不相容的，或互斥的.即事件 A 与事件 B 不能同时发生. 6.事件运算  （1）事件运算：并、交、差、余. ①事件 A 与 B 的并记为 A B ， A B ={x x∈ A或x∈ B} ， 当且仅当 A 与 B 至少有一个发生时，事件 A B 发生. ②事件 A 与 B 的交记为 A B 或 AB A B ={x x∈ A且x∈ B} ，当且仅当 A 与 B 同时发生时，事件 A B 发生. 事件的并交运算可推广到有限个或可列个事件， n k k A =1 称为有限并， ∞ k=1 Ak 称为可列并， n k Ak =1 称为有限交，  ∞ k=1 Ak 称为可列交. ③事件 A 对 B 的差记为 A − B ， A − B = {x x∈ A且x∉ B} ，当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 A − B 发生. ④对立事件 A 的对立事件记为 A ，即A = Ω − A . 事件 A 与 B 互为对立事件的充要条件为若A  B = Ω 且 A B = Φ 利用对立事件，可知 A − B = AB ⑤事件的运算性质 a.交换律： , A B B AA B B A = =    ； b.结合律： ( ) ( ),( ) ( ) AB C A BC AB C A BC = =     ； c.分配律： ( ) ( ) ( ),( ) ( ) ( ) AB C AC BC AB C AC BC = =     ； b.对偶律（德莫根公式）：  考研精品资料 第 207 页 共 632 页 , A B A BA B A B = =    . 7.事件域  （1）定义设Ω 为一样本空间， F 为Ω 的某些子集组成的集合，如果 F 满足： ①Ω ∈F; ②若 A∈F ，则 A∈F ； ③若 An ∈F ， n =1,2, ,  则 1 n n A +∞ = ∈  F .则称 F 为一事件域或σ − 代数. （2）常见事件域 （3）波雷尔事件域： (( , ), ) x x σ F = −∞ ∈ℜ . 【核心笔记】概率的定义及其确定方法  1.概率的公理化定义  定义设Ω 为一样本空间, F 为Ω 上的某些子集组成的一个事件域，如果对任意事件, A∈F 定义在 F 上 的一个实值函数 P（A）满足： 非负性公理： P A( ) 0; ≥ 正则性公理： P A( ) 1; = 可列可加性公理：若 1 2 ,, , n AA A  两两互不相容，有 1 1 ( ) ( ); n n n n P A PA +∞ +∞ = = = ∑  则称 P（A）为事件 A 的概率，称三元素(,,) Ω F P 为概率空间. 概率是关于事件的满足如上三条公理的函数. 2.排列与组合公式  两大计数原理 （1）乘法原理完成一件工作分 m 个步骤，第一步骤有 n1种方法，第二步骤有 n2 种方法，……第 m 个 步骤有 nm 种方法，那么完成这件工作共有 n1 × n2 ×× nm 种方法. （2）加法原理：完成一件工作有 m 个独立的途径，第一个途径有 n1种方法，……第 m 个途径有 nm 种 方法，那么完成这件工作共有 n1 + n2 ++ nm 种方法. 排列组合公式  考研精品资料 第 208 页 共 632 页 以上述两个原理为基础，可以推导出如下的排列、组合等公式： ①排列：从 n 个元素中取出 r 个来排列，既要考虑每次取到哪个元素，又要考虑取出的顺序，这种排 列称为选排列，总数 = n(n −1) (n − r +1) Ar n  ，特别地 An n = n(n −1)3⋅ 2 ⋅1 = n! 称为 n 个元素的全排 列. ②重复排列每次选取都是在全体元素中进行，同一元素可被重复选中，这种排列称为有重复排列，总 数为 nr 种. ③组合 从 n 个元素中取出 r 个元素的组合是不考虑元素的顺序的，其组合总数为 ( )! ! ! ! r r n n A r r n r n − =  =       重复组合 从 n 个元素中每次取一个，放回后再取下一个，连续取 r 次所的组合数为 1 r Cn r + − ，称为重复组合数. 3.确定概率的频率方法  定义在 n 次独立重复试验中，记 n(A)为事件 A 出现的次数，又称 n(A)为事件 A 的频数，称 n ( ) n A( ) f A n = 为事件 A 出现的频率. 基本思想在与考察事件 A 有关的随机现象可大量重复进行的条件下，记事件 A 的频率为 n ( ) f A ，随着 n 的增加， n ( ) f A 会稳定在一常数α 附近，这个频率的稳定值就是所求事件 A 的概率. 4.确定概率的古典方法  基本思想 （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如 n 个； （2）每个样本点发生的可能性相等； （3）若事件 A 含有 k 个样本点，则 A 的概率为 ( ) A k n . P A = = 事 Ω 件 所含样本点个数 中所含样本点个数 5.确定概率的几何方法  基本思想 （1）如果一个随机现象的样本空间Ω 充满某个区间，其度量可用SΩ 表示； （2）任意一点落在度量相同的子区域内是等可能的： （3）若事件 A 为Ω 中的某个子区域，其度量为SA ，则事件 A 的概率为 这时实际向大家介绍了一个很有用的计算方法，即若我们想要计算一个感兴趣的量（上面这个量是 π），则可适当地设计一个随机试验，使试验下某个事件的概率与感兴趣的那个有关，然后重复试验多次， 以频率代事件的概率便可求出那个量的近似解来。人们称这种计算方法为随机模拟法或蒙特——卡洛  考研精品资料 第 312 页 共 632 页 《概率论与数理统计》考研核心笔记  第 1 章 概率论的基本概念 考研提纲及考试要求 考点：随机试验与样本空间，随机事件算 考点：事件与集合的对应以及它们的运算 考点：频率与概率，概率的公理化定义 考点：古典概型，事件的独立性，伯努利概型 考点：条件概率，乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式 考研核心笔记 【核心笔记】随机试验 1.随机试验与样本空间 概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征： （1）在相同条件下试验是可重复的； （2）试验的全部可能结果不只一个，且都是事先可以知道的； （3）每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事前无法预知。 为简单计，今后凡是随机试验皆简称试验，并记之以英文字母 E 。称试验的每个可能结果为样本点， 并称全体样本点的集合为试验的样本空间，分别用希腊字母ω 和Ω 表示样本点及样本空间。 必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定，它部分地取决于实验的目的。假设抛掷一枚硬币 两次，出于某些目的，也许只需要考虑三种可能的结果就足够了，两次都是正面，两次都是反面，一次是 正面一次是反面。于是这三个结果就构成了样本空间Ω 。但是，如果要知道硬币出现正反面的精确次序， 那么样本空间Ω 就必须由四个可能的结果组成，正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。如果还 考虑硬币降落的精确位置，它们在空中旋转的次数等事项，则可以获得其它可能的样本空间。 经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间，因为它便于使用。比如，在前面的例子中，由四个 可能结果组成的样本空间便于问题的讨论，因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。尽 管这在有 3 种结果的样本空间内是不对的。 2.随机事件 随机试验的结果称为随机事件，简称事件，并以大写英文字母 ABCD ,,,,记之。 3.事件与集合的对应以及它们的运算 通常用希腊字母Ω 表示样本空间,ω 表示样本点。称“ω 是Ω 的成员”或者“ω 属于Ω ”，或者“ω 是Ω 的元素”，记为ω ∈Ω 。  考研精品资料 第 313 页 共 632 页 如果ω 不是试验的一个可能结果，那么ω 不是Ω 的元素，则记为ω ∉Ω 。 一个事件对应于样本空间的一个子集，因此某事件发生当且仅当它对应的子集中的某个元素（即样本 点）在试验中出现。用 A ⊂ Ω 表示事件 A 是Ω 的子集。事件的相互关系与集合论中集合的包含、相等以 及集合的运算等概念对应。以下就是这些对应关系与运算。为简化起见，以下均假设涉及的集合 1 2 , , , , , n ABA A A  等都是Ω 的子集，而不再每次申明。 （1）事件的包含—集合的包含： 集合 A B ⊂ 即“ A 包含于 B ”，意为 A 中元素都在 B 中，或说，如果ω ∈ A ，必有ω ∈ B 。对应于 事件，表示 A 的样本点都在 B 中，即当 A 的样本点出现于试验结果 B 之中，即 A 发生时， B 当然也就发 生了，或说“ A 的发生必导致 B 的发生”。 图 1.1 A B ⊂ 的文氏图 （2）事件的相等—集合的相等： 称集合 A 和 B 相等，并记为 A B = ，是说“ A B ⊂ 且 B A ⊂ ”。对应于事件，称 A 和 B 相等，记 为 A B = ，就是“如果 A 发生，则 B 必然发生，同样如果 B 发生，则 A 必然发生”。相等的事件含有相 同的样本点。 （3）事件的并（和）—并集： 集合 A 和 B 的并集记为 A B  ,它的元素或者属于 A ，或者属于 B（当然有的可能同时属于 A 和 B）， 即： { } : AB A B ωω ω  =∈∈ 或 。对应事件的并 A B  表示“ A 或 B 至少有一个发生”。 图 1.2 A B  的文氏图 并的概念可以推广到 n 个事件和可数个事件 , 1 2 , , , n AA A  的 并 1 2 1 n i n i AAA A = =    表 示  考研精品资料 第 314 页 共 632 页 “ i ( 1, 2, , ) Ai n =  中至少有一个发生”；可数个事件 1 2 , , , , n AA A  的并     i n i A A1 A2 A 1 = ∞ = 表示“ i ( 1,2, , , ) Ai n =   中至少有一个发生”。 （4）事件的交（积）—交集： 两个集合 A 和 B 的交集记为 A B  ，它是由既属于 A 又属于 B 的元素构成的集合，即： A B  ={ω :ω ∈ A且ω ∈ B} 对应于事件的交 A B  表示“A 和 B 同时发生”。 A B  常简记作 AB。 图 1.3 A B  的文氏图 类似地，交得概念也可以推广到 n 个事件的交 , 1 2 1 n i n i AAA A = =    表示“ n 个事件 i ( 1, 2, , ) Ai n =  同时发生”，可数个事件的交 1 2 1 i n i AAA A ∞ = =     表示“可数个事件 i ( 1,2, , , ) Ai n =   同时发生”。 （5）逆事件（对立事件）—补集： Ω 的子集 A 的补集记为 A ，它是由属于Ω 但不属于 A 的元素构成的集合，因为仅牵涉到属于Ω（样 本空间）的点，集合 A 就是由那些不属于 A 元素组成的。记为： A ={ω :ω ∈Ω且ω ∉ A} 图 1.4 A 的文氏图 对应于事件， A 发生当且仅当 A 不发生时发生，称作事件 A 的逆事件。利用上述事件的并和交的运 算符号，有：  考研精品资料 第 315 页 共 632 页 A A  = Ω 及 AA = φ （6）事件的差—差集： 集合 A 与 B 的差集 A B− 由 A 中那些不属于 B 的元素全体组成。对应地，事件的差 A B− 表示“ A 发 生而 B 不发生”即 A B AB − = 。 图 1.5 A B− 的文氏图 （7）互斥（或不相容）—事件不交集： 在集合论中,若 AB = φ ,则表明 A , B 没有公共元素，它们互不相交。对应于事件,若 AB = φ ，则表明 A ， B 不同时发生，称 A 与 B 互斥（或不相容）。 图 1.6 AB = φ 的文氏图 （8）必然事件和不可能事件—样本空间和空集： 有两个特殊的集合需要特别讨论，一个是样本空间本身，从集合的定义容易推断出Ω 是它自身的子集， 从包含关系Ω ⊂ Ω 的左边取一个元素使它不在右边集合中，显然是不可能的，因此Ω ⊂ Ω 。又假设存在 集合φ ，该集合不包含任何元素（空的集合），φ 必定是每一个集合的子集，对任何子集 A ，要从φ 中找 到一个元素不在 A 中，显然是不可能的，因为φ 没有元素，因此，φ ⊂ A成立。 对应于事件，称试验必然会出现的结果为必然事件。 注意到以下等式总是成立的： ( ) ,, , , , ,. A AA AA AA A A φ φ φ Ω= =Ω Ω =Ω Ω = = Ω==     上述事件间的关系与运算可由集合论中的文氏图予以展示。 与集合运算一样，事件的运算亦有如下的运算律：  考研精品资料 第 431 页 共 632 页 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研辅导课件  《概率论与数理统计教程》考研辅导课件  考研精品资料 第 432 页 共 632 页  考研精品资料 第 433 页 共 632 页  考研精品资料 第 434 页 共 632 页  考研精品资料 第 481 页 共 632 页 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研复习提纲  《概率论与数理统计教程》考研复习提纲  考研精品资料 第 482 页 共 632 页  考研精品资料 第 483 页 共 632 页  考研精品资料 第 484 页 共 632 页  考研精品资料 第 487 页 共 632 页 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研核心题库  《概率论与数理统计》考研核心题库之计算题精编 1． 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品， 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求：  (1)乙箱中次品件数的数学期望； (2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 【答案】(1)X 的可能取值为 0，1，2，3，X 的概率分布为 即 因此 (2)设 A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于 ， 构成完备事 件组，因此根据全概率公式，有. 注：本题对数学期望的计算也可用分解法： 设 则 的概率分布为 因为 ，所以 2． 已知总体 X 的概率密度只有两种可能，设  对 X 进行一次观测，得样本 ，规定 时拒 绝 ，否则接受 .求犯第一类错误的概率α和犯第二类错误的概率 .  考研精品资料 第 488 页 共 632 页 【答案】当 成立， 的概率密度为 所以犯第一类错误的概率 当 不成立， 的概率密度为 ，所以犯第二类错误的概率 3． 设二维随机变量(X,Y)服从区域 G 上的均匀分布，其中 G 是由 与 y=0 所围成的区域.  (1)求边缘概率密度 . (2)求条件密度函数 . 【答案】(1)区域 G 为阴影部分，且 G 的面积为 1. 当 0＜x＜1 时， 当 时， . 故 X 的边缘概率密度为 (2)当 0＜y＜1 时， 故当 0＜y＜l 时， 有意义. 4． 有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m,现从这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至 少有 30 根短于 3m 的概率.  【答案】记 X 为 100 根木柱中长度小于 3m 的木柱根数，则 X～6(100,0.2)，由棣莫弗一拉普拉斯中心 极限定理知  考研精品资料 第 489 页 共 632 页 5． 设二维随机变量(x，y)在区域 内服从均匀分布，求关于 x 的边缘概率密度函数 及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z).  【答案】二维随机变量(X，Y)的联合概率密度为 X 的边缘概率密度函数为 故有 从而随机变量 Z=2X+1 的方差 6． 甲、乙两人进行网球比赛，每一回合胜者得 1 分，且每一回合甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，比赛进行到有一人比另一人多 2 分为止，多 2 分者最终获胜，求甲最终获胜的概率.  【答案】用 表示事件“第一、二回合甲均获胜”， 表示事件“第一、二回合乙均获胜”， 表示 事件“第一、二回合甲、乙各获胜一回”，B 表示事件“甲最终获胜”. ， ， 解得 . 7． 设总体 X 的分布函数为 ，其中 是未知参数且大于零， ， 为来自 总体 X 的简单随机样本。  (1)求 ； (2)求 的最大似然估计量 ； (3)是否存在实数 a，使得对任何 ，都有 【答案】X 的概率密度为 (1)  考研精品资料 第 490 页 共 632 页 (2)似然函数 当 时， ， 解得 所以， 的最大似然估计量为 (3)依题意，问 是否为 的一致估计量。 所以 ，所以 为 的一致估计量，因此 。  考研精品资料 第 553 页 共 632 页 2023 年上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研题库[仿真+强化+冲刺]  上海社会科学院 915 统计学（概率论和统计学）考研仿真五套模拟题  2023 年概率论与数理统计五套仿真模拟题及详细答案解析（一） 一、计算题 1． 设随机变量 相互独立，且均服从参数为 p 的 0-1 分布令 k=1,2. 求 的概率分布. 【答案】由二项分布的可加性得 . 的所有可能取值为(-1,-1)，(-1，1)，(1,-1)，(1，1). ； 所以 的概率分布为 2 ． 设随机变量 (X ， Y) 的联合概率密度为 ’ 求 :U= 和 的概率密度. 【答案】先求 的分布函数. 当 u＜0 时，显然 ； 当 时， 所以， ' 然后，再对分布函数 求 u 的导数，则 的概率密度为  考研精品资料 第 554 页 共 632 页 现在再求 的分布函数. 当 u＜0 时，显然 ； 当 时， 所以， ’ 然后，再对分布函数 求 u 的导数，则 V=min｛X，Y}的概率密度为 ’ 3． 有人认为，企业的利润水平与它的研究费用存在着某种线性关系，问由下列资料能否证实这一论断 ( =0.05)? 【答案】n=10，列表计算如下： 故回归方程为 由题意，需检验假设  考研精品资料 第 555 页 共 632 页 其拒绝域为 由 有 故接受 ，即认为线性关系不显著. 4． 将指数回归模型 转化为一个线性回归模型(即对数-对数模型)，分析 Y 与 X 之间的弹性系数的特点. 【答案】将指数回归模型 两边取对数，得到 即作对数变换 ，得线性回归模型 对指数回归模型 ，计算 Y 与 X 之间的弹性系数 故弹性系数为 ，也就是对数变换后得到的线性回归模型中 前的系数. 5． 一个家庭中有两个小孩. (1)已知其中有一个是女孩，求另一个也是女孩的概率； (2)已知第一胎是女孩，求第二胎也是女孩的概率. 【答案】本题在孩子为男性或女性是等可能的前提下讨论，设 表示“家中的第 i 胎孩子是女的”，则 (1) ； (2) 二、证明题 6． 设 A 和 B 是试验 E 的两个事件，且 P(A)>0，P(B)>0,并定义随机变量:如下： 证明若 ，则 X 和 Y 必定相互独立. 【答案】设 X,Y 分布律为 于是 XY 也只能取 0 及 1 这两个值，从而  考研精品资料 第 556 页 共 632 页 E(X)=0×[1-P(A)]+1×P(A)=P(A)，同理，E(Y)=P(B)，E(XY)=P{X=1,Y=1} 即 E(XY)=E(X).EY 从而 P{X=1,Y=1}=P{X=1}.P{Y=1}. 同理可证， 所以 X 和 Y 必定相互独立. 7． 设 X，Y 的方差存在，相关系数为 ，现用 X 对 Y 作线性预测。证明在均方误差最小意义下的最优 线性预测为 【答案】用 X 对 Y 作线性预测，即用 aX+b 来预测 Y，在均方误差最小意义下，即求 a，b,使得 达到最小， 令 ， 令 和 ，得到 求解得 ， 于是有 。 8． 设 X,Y 是相互独立的随机变量， ，证明 . 【答案】 分别服从参数 的泊松分布，故 X,Y 的分布律分别为 又 X 和 Y 相互独立，则 Z=X+Y 的分布律为试读已结束 激活后可查看剩余未读页数！